KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

Mobil bergerak memiliki kecepatan yang besarnya dapat ditentukan sebagai kelajuan
sedangkan arahnya selalu berubah-ubah. Selang beberapa waktu lamanya mobil sudah
berubah posisinya. Terkadang mobil selama perjalanannya harus menambah atau
mengurangi kecepatannya. Perubahan kecepatan tiap satuan waktu dinamakan
percepatan. Dalam kinematika membahas posisi, kecepatan, maupun percepatan benda
tanpa memperhatikan gaya-gaya yang bekerja pada benda.
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 1
Indikator
Mengana
lisis
gerak
lurus
menurut
besaranbesaran
kinematis
nya
menggun
akan
notasi
vektor.
Mengana
lisis
gerak
parabola
menurut
besaranbesaran
kinematis
nya
menggun
akan
notasi
vektor.
Mengana
lisis
gerak
melingka
r menurut
besaranbesaran
kinematis
nya
menggun
akan
notasi
vektor.
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 2
Kompetensi Dasar
· Dapat menganalisis gerak lurus, gerak melingkar dan gerak parabola dengan
menggunakan vektor
http://wahyusaptakurniawan http://media.vivanews.com
Pesawat tempur bergerak di angkasa dengan kecepatan 100 km/jam. Ketika
pesawat meluncurkan rudal dengan kecepatan 120 km/jam. Semua kecepatan
diukur terhadap tanah. Berarti kecepatan rudal 20 km/jam terhadap pesawat.
Baik rudal maupun pesawat dikatakan bergerak karena posisinya selalu
berubah. Namun tidak demikian dengan Buldoser yang tengah meratakan
tanah untuk pembangunan jalan tol Semarang-Solo, rodanya tidak pernah
bergeser. Buldoser tidak dapat disebut bergerak pada saat itu karena posisinya
selalu tetap. Buldoser dikatakan bergerak jika sudah bergeser meninggalkan
tempat itu. Apakah kamu yang sedang duduk sambil menulis dikatakan
bergerak? Marilah kita memperdalam pemahaman tentang gerak atau dalam
cabang fisika yang disebut dengan kinematika.
A. Posisi, Kecepatan dan Percepatan Partikel pada Gerak Lurus
Amatilah gerakan mobil balap yang sedang berjalan! Bilakah sebuah mobil dikatakan
bergerak? Bagaimana kedudukan mobil terhadap tempat semula? Bagaimana kedudukan
mobil terhadap sopirnya? Bagaimana kedudukan sebuah mobil terhadap mobil lain yang
berada di sekitarnya? Semua permasalahan tersebut menuntut adanya penjelasan tentang
gerak mobil.
Kinematika, sebagai cabang dari fisika, mempelajari gerak suatu benda, tanpa
memperhatikan gaya penyebabnya. Dengan demikian berapa kekuatan atau daya yang
dihasilkan oleh mobil tersebut tidak dibahas dalam kajian kali ini. Pada kajian ini hanya
dipelajari tentang kedudukan benda, perubahan kedudukan benda terhadap suatu titik acuan,
yang sering disebut dengan perpindahan. Juga pada kajian ini dibahas segala permasalahan
gerak yang dikaitkan dengan notasi vektor.
1. Posisi Partikel pada Suatu Bidang
Pada bab ini akan dipelajari tentang vektor posisi, perpindahan, kecepatan dan
percepatan dari sebuah partikel, atau benda yang memvisualisasikan sebuah partikel yang
bergerak dua dimensi pada suatu bidang. Oleh karena gerak benda dipandang dalam dua
dimensi, karakterisitiknya akan dianalisis melalui vektor satuan i (sumbu x) dan vektor
satuan j (sumbu y). Untuk memahami berbagai hal seperti tersebut di atas, dapat
diilustrasikan seperti berikut ini. Suatu ketika ada seorang pelaut sedang berlayar di tengah
laut yang luas. Jika ia berangkat dari kota B menuju kota A, maka langkah pertama yang dia
lakukan adalah menganalisis kedudukan awal dan kedudukan akhirnya. Lebih jelasnya
adalah sebagai berikut. Mula-mula pelaut itu berada di kota B. Untuk mencapai kota A, ia
harus berlayar 40 km ke utara, dan dilanjutkan 30 km ke timur, maka posisi atau kedudukan
dari kota A, telah terdefinisikan dengan jelas terhadap kota B sebagai titik acuan. Tanpa
kerangka acuan, atau penentuan posisi awal yang dijadikan acuan, maka pengertian
perpindahan akan sulit dipahami.
Saat pilot pesawat terbang akan mendarat di sebuah pelabuhan udara, tentu ia akan
memberi laporan kepada petugas penjaga menara. Pilot akan menginformasikan kedudukan
pesawat tersebut terhadap bandara dan kecepatan pesawat serta berbagai hal yang berkaitan
dengan persiapan pendaratan. Dengan adanya informasi dari pilot tersebut, petugas menara
akan memberi instruksi teknis tentang pendaratan pesawat. Dengan demikian, informasi
tentang posisi atau kedudukan dari suatu titik, seperti pada keadaan ilustrasi tersebut, sangat
diperlukan.
Pada umumnya, posisi atau kedudukan suatu titik ditunjukkan dengan sebuah
koordinat. Sebuah koordinat memiliki suatu titik acuan, atau suatu kerangka acuan.
Berdasarkan kerangka acuan tersebut, akan dapat digambarkan kedudukan suatu titik dalam
koordinat tersebut. Data bahwa pesawat berada pada jarak 20 km akan tidak bermakna, jika
tidak disertai arah petunjuk dan titik acuannya. Namun angka 20 km akan menjadi informasi
penting jika dikatakan, bahwa pesawat berada 20 km sebelah timur dari menara kontrol.
Begitu juga dalam koordinat kartesius, yang umumnya menempatkan koordinat (0,0) sebagai
pusat acuannya. Misalkan dalam koordinat kartesius titik A berada pada koordinat (2,4), dan
titik B pada koordinat (-2,3).
Jika digambarkan titik (0,0) yang dijadikan sebagai titik acuan, maka titik A dan B
dapat digambarkan sebagai berikut :
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 3
Gambar 1:
Pesawat yang akan mendarat selalu melaporkan
posisinya kepada petugas menara agar dapat dipandu
pendaratannya. Posisi pesawat dikontrol pilot melalui
sistem navigasi dalam pesawat
Selain menggunakan grafik kartesius, posisi suatu partikel dapat pula ditunjukkan
dengan menggunakan grafik koordinat polar (r , θ). Di mana r adalah jarak suatu titik ke
pusat koordinat, dan θ adalah sudut dari sumbu x positif dalam koordinat kartesius menuju
titik materi dengan arah berlawanan arah jarum jam. Hubungan antara koordinat kartesius
dan koordinat polar adalah :
x = r . cos θ y = r . sin θ
r = x 2 + y 2 tan θ =
x
y
Misalnya, suatu titik berjarak 10 cm dari titik pusat koordinat dan membentuk sudut
37° terhadap sumbu x positif, maka gambaran posisi titik tersebut dalam koordinat polar
adalah seperti berikut ini.
Kedudukan dalam koordinat polar dapat diubah dalam koordinat kartesius. Besar
nilai x dan y adalah :
x = r . cos θ y = r . sin θ
x = 10 . cos 37° y = 10 . sin 37°
x = 10 . 0,8 y = 10 . 0,6
x = 8 satuan y = 6 satuan
Kedudukan atau posisi suatu benda dinyatakan dalam vektor satuan. Adapun
persamaan umum vektor posisi dalam dua dimensi adalah :
r = x i + y j di mana besar vektor satuan i = 1
dan besar vektor satuan j = 1
Penulisan suatu vektor satuan dinyatakan dalam huruf miring. Misalnya vektor
satuan yang searah sumbu x dinyatakan dengan i. Vektor itu sendiri diwakili dengan huruf
tebal, seperti vektor kedudukan atau vektor pisisi suatu titik dalam dua dimensi adalah r.
Prinsip penulisan lambang seperti tersebut tidak baku namun lazim digunakan secara umum.
Jika ingin dibuat suatu teknik penulisan yang lain, dan telah disepakati, maka hal itu dapat
dilakukan, seperti penulisan vektor posisi dengan memberi tanda panah di atas suatu
lambang vektor, atau pemberian harga mutlak pada suatu lambang vektor untuk
melambangkan besar dari suatu vektor.
Contoh :
1. Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (3,6). Nyatakan
koordinat titik tersebut dalam koordinat polar !
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 4
Gambar 2 :
Grafik kartesius yang menggambarkan koordinat A
(2,4) dan B (-2,3)
Gambar 3:
Grafik polar yang menunjukkan kedudukan (10, 37°)
Jawab :
r = 32 + 62 = 3 5 dan tan θ =
3
6
maka θ = 63,4°
Jadi koordinat polarnya (3 5 ; 63,4°)
2. Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (4, 45°). Nyatakan koordinat
tersebut dalam koordinat kartesius !
Jawab :
x = r . cos θ y = r . sin θ
x = 4 . cos 45° y = 4 . sin 45°
x = 4 . 2
2
1
y = 4 . 2
2
1
x = 2 2 y = 2 2
3. Suatu titik A mempunyai kedudukan yang ditunjukkan koordinat kartesius (2,4).
Tentukan vektor posisi titik tersebut !
Jawab :
rA = 2 i + 4 j
4. Titik H mempunyai kedudukan (4, 30°). Tentukan vektor posisi titik tersebut !
Jawab :
x = 4 . cos θ y = r . sin θ
x = 4 . cos 30° y = 4 . sin 30°
x = 4 . 3
2
1
y = 4 .
2
1
x = 2 3 y = 2
jadi vektor posisinya adalah rH = 2 3 i + 2 j
Tugas Individual
Buatlah grafik perpindahan yang kamu lakukan saat kamu berangkat dari rumah menuju
sekolah! Gunakan skesta dan acuan arah mata angin. Jika perlu, gunakan kertas milimeter
blok, agar lebih teliti!
2. Perpindahan
Pengertian perpindahan perlu dibedakan dengan jarak. Sebagai sebuah ilustrasi,
seandainya ada seorang anak yang berjalan ke timur sejauh10 m, kemudian kembali ke arah
barat 4 m, maka dikatakan bahwa perpindahan anak tersebut adalah 6 m, namun jarak yang
ditempuhnya sebesar 14 m. Dengan demikian, coba simpulkan perbedaan perpindahan dan
jarak itu!
Adanya perbedaan pengertian perpindahan dan jarak, akan berimplikasi terhadap
pengertian akan kecepatan (velocity) dan kelajuan (speed). Perpindahan yang ditempuh oleh
suatu benda tiap satuan waktu akan menunjukkan kecepatan, dan besarnya jarak yang
ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu disebut dengan kelajuan.
Suatu benda dikatakan melakukan perpindahan jika posisi dari benda tersebut
mengalami perubahan terhadap titik acuan. Seorang kondektur bus - saat meminta karcis
penumpang dari baris kursi terdepan menuju kursi belakang - dikatakan telah melakukan
perpindahan. Namun seperti yang telah disebutkan sebelumnya, bahwa perpindahan tidak
sama dengan jarak yang ditempuh. Jika perpindahan sebagai suatu besaran vektor
memperhatikan arah, sedang jarak adalah lintasan total yang dilakukan benda tanpa
memperhatikan arah gerakan benda.
Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan suatu titik N, mula-mula saat t = 0 berada
di titik (1,1) m, kemudian saat t = 4 s berada pada titik (4,5) m, maka besaran-besaran yang
berkaitan dengan vektor perpindahan adalah :
Vektor posisi awal titik N :
rN1 = 1 i + 1 j
rN2 = 4 i + 5 j
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 5
Vektor perpindahan titik N :
Δ rN = rN2 – rN1
Δ rN = (4 i + 5 j) – (1 i + 1 j)
Δ rN = 3 i + 4 j
Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu x adalah 3
Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu y adalah 4
Besar vektor perpindahan titik N adalah :
Δ rN = 32 + 42 = 5 m
Arah perpindahan titik N adalah :
tan θ =
x
y
tan θ =
3
4
maka θ = 53,1° terhadap sumbu x positif dengan arah berlawanan arah jarum jam.
Suatu vektor posisi dapat pula dinyatakan dalam sebuah persamaan yang mengandung
unsur t, seperti vektor posisi T = 5t i + 2 t2 j . Sehingga misalkan ditanyakan vektor posisi
titik T saat t = 3 s adalah T = 5 (3) i + 2 (3)2 j = 15 i + 18 j.
Contoh :
1. Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi (6,4)
m. Tentukan :
a. vektor perpindahannya
b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x
c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y
d. besar perpindahannya
e. arah perpindahannya
Jawab :
a. ΔrR = (6 i + 4 j) – (2 i + 1 j) = 4 i + 3 j
b. rRx = 4 m
c. rRy = 3 m
d. r = 42 + 32 = 5 m
e. tan θ =
Rx
Ry
r
r
=
4
3
maka θ = 37°
2. Titik I mempunyai vektor posisi r = t 2 i + 2 t j. Tentukan :
a. Vektor posisi awal (saat t = 0 s)
b. Vektor posisi saat t = 2 s
c. Vektor posisi saat t = 4 s
d. Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 s
e. Besar vektor perpindahannya
Jawab :
a. r(t = 0s) = 0 i + 0 j
b. r(t =2s) = 22 i + 2.2 j = 4 i + 4 j
c. r(t=4s) = 42 i + 2.4 j = 16 i + 8 j
d. Δr = (16 i + 8 j) – (4 i + 4 j) = 12 i + 4 j
e. Δr = 122 + 42 = 4 10 m
Tugas Kelompok
Buatlah kelompok minimal terdiri atas 3 orang, maksimal 5 orang. kemudian diskusikan
tentang berbagai perpindahan yang telah kamu lakukan pada hari ini! Apakah dapat
dikatakan bahwa kamu telah melakukan perpindahan, jika kamu dari kelas pergi ke
belakang, dan kemudian kembali lagi ke kelas?
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 6
Uji Kompetensi
Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar!
1. Gambarkan posisi atau kedudukan dari titik-titik berikut ini:
a. H (1,4) c. Y (5,45°)
b. A (-3,4) d. D (3, 60°)
2. Ubahlah koordinat polar berikut menjadi koordinat kartesius:
a. W (2, 37°) c. T (3, 30°)
b. A (6, 53°) d. I (4, 45°)
3. Ubahlah koordinat kartesius berikut menjadi koordinat polar:
a. K (3,4) d. T (1,2)
b. E (-6,-8) e. I (5,-5)
c. N (8,10) f. K (-4,5)
4. Titik I melakukan perpindahan dari koordinat (1,4) menuju (1,8). Tentukan vektor
perpindahannya!
5. Titik N berpindah dari (-1,1) ke (2,5). Tentukan:
a. vektor perpindahannya
b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x
c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y
d. besar vektor perpindahannya
e. arah perpindahannya
6. Vektor posisi dari titik D dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur
waktu, yaitu: r = 2t i + 4t2 j. Tentukan:
a. vektor posisi awal
b. vektor posisi saat t = 1 s
c. vektor posisi saat t = 2 s
d. vektor perpindahan dari t = 1 s hingga t = 2 s
e. komponen vektor perpindahan pada sumbu x
f. vektor perpindahan pada sumbu y
g. besar vektor perpindahan
7. Vektor posisi A dinyatakan dalam r = (2 + 3t) i + 2t j. Tentukan besar vektor
perpindahannya dari t = 2 s hingga t = 7 s!
8. Vektor posisi H dinyatakan dalam r = t2 i – 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan arah
perpindahannya dari t = 1 s hingga t = 5 s!
3. Kecepatan
Bila suatu partikel mengalami perubahan kedudukan dalam suatu selang waktu tertentu maka
besar perubahan kedudukan dalam selang waktu tesebut disebut kecepatan. Sebagai misal, jika
seorang anak pergi ke arah timur sejauh 8 m dalam 4 sekon, maka dikatakan kecepatan anak tersebut
2 m/s. Hal ini akan memiliki makna yang berbeda, jika dalam 4 sekon berikutnya, anak tersebut
kembali ke arah barat 8 m, maka kedudukan anak tersebut berada di titik semula, sehingga dapay
dikatakan anak tersebut tidak melakukan perpindahan, sehingga kecepatannya nol.
a. Kecepatan rata-rata
kecepatan rata-rata dinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap selang waktu dari
perpindahan itu dan dirumuskan:
v =
Δt
Δr
=
2 1
2 1
t t
r r
-
-
Dengan memperhatikan uraian sebelumnya tentang vektor posisi dari suatu titik, maka vektor
kecepatan rata-rata dapat ditentukan.
Contoh:
Titik materi D pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada pada posisi (8,8)
m. Tentukan :
a. vektor kecepatan rata-ratanya
b. komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu x
c. komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu y
d. besar vektor kecepatan rata-rata
e. arah kecepatan rata-ratanya
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 7
Jawab :
a. rD1 = 2 i + 0 j
rD2 = 8 i + 8 j
Δr = rD2 – rD1 = 6 i + 8 j dan Δ t = t2 – t1 = 4 s – 1 s = 3 s
v =
Δt
Δr
=
3
6i + 8 j
= ( 2 i + 4/3 j ) m/s
b. x v = 2 m/s
c. y v = 4/3 m/s
d. v =
2
2
3
2 4 ÷
ø
ö ç
è
+ æ = 2,4 m/s
e. tan θ =
x
y
v
v
= ( )
2
4 / 3
= 0,666 maka θ = 33,7°
b. Kecepatan Sesaat
Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt yang
mendekati nol, yang bila dinyatakan dalam persamaan limit dirumuskan :
v = v
t 0
lim
D ®
=
t
x
t 0
lim
D
D
D ®
Jika perpindahan suatu titik dilambangkan dalam sumbu x, dan waktu dalam sumbu y, maka
kecepatan sesaat pada suatu perpindahan ditunjukkan oleh kemiringan garis singgung pada titik
tersebut. Perhatikan gambar berikut!
Dengan grafik berikut, tentukan kecepatan saat t = 2 s !
Untuk menentukan kecepatan sesaat dari suatu grafik x – t, yang menunjukkan hubungan antara
perpindahan x terhadap waktu t, maka kecepatan sesaat ditunjukkan dari kemiringan garis singgung
pada titik yang dimaksud. Pada contoh soal di atas, kemiringan garis singgung pada t = 2 s
digambarkan oleh grafik sebagai berikut :
v = tan θ =
3
3
= 1 m/s
Jika dalam suatu penentuan kecepatan sesaat dari suatu grafik bernilai negatif, berarti arah
kecepatan tersebut berlawanan dengan arah gerakan benda atau arah perpindahan benda. Juga jika
kecepatan saat itu adalah nol, maka benda dikatakan tidak berpindah.
Selain kecepatan sesaat ditentukan dari kemiringan garis singgung di suatu titik, kecepatan
sesaat juga dapat diturunkan dari sebuah persamaan perpindahan.
Contoh:
1. Titik Y melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan : r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m.
Tentukan :
a. vektor kecepatan sesaat
b. komponen sumbu x vektor kecepatan
c. komponen sumbu y vektor kecepatan
d. vektor kecepatan saat t = 2 s
e. besar kecepatan saat t = 2 s
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 8
Gambar 4:
Grafik x – t yang menjelaskan hubungan antara perpindahan terhadap
waktu, yang digunakan untuk menentukan kecepatan sesaat
Gambar 5:
Menganalisis kecepatan sesaat dari
kemiringan suatu grafik x - t
Jawab :
a. v =
dt
dr
v = ( 4 t i + 5 j) m/s
b. vx = 4 t m/s
c. vy = 5 m
d. Saat t = 2 s , maka vektor kecepatan sesaat adalah : v = ( 4 (2) i + 5 j) m/s
v = ( 8 i + 5 j) m/s
e. v = 82 + 52 = 89 m/s
Jika vektor kecepatan sesaat dari suatu titik diketahui, maka vektor perpindahan dapat
ditentukan dari kebalikan turunan, yaitu dengan mengintegralkannya. Jadi dengan melakukan
integral dari suatu vektor kecepatan sesaat, maka akan diperoleh vektor posisi dari suatu titik.
2. Titik A mempunyai kecepatan yang dinyatakan dalam vektor :
vA = ( 8 t i - 2 t2 j ) m/s
Jika posisi awal benda (2i + 3 j) m/s, maka tentukan vektor posisi saat t = 2 s !
Jawab :
r = ro + ò a v dt
r = (2i + 3 j) + ò (8ti - 2t 2 j) dt
r = (2i + 3 j) + (4 t2 i -
3
2
t3 j)
Saat t = 2 s maka r = (2i + 3 j) + (4 (2)2 i -
3
2
(2)3 j)
r = ( 18 i -
3
7
j ) m/s
Perbedaan perhitungan perpindahan dan jarak jika diekspresikan dalam sebuah grafik
kecepatan v terhadap waktu t, ditunjukkan dari luas daerah di bawah kurva. Jika kurva berada di atas
sumbu x atau sumbu t, maka luas tersebut bernilai positif, namun jika di bawah sumbu x atau sumbu
t, maka luas daerah tersebut bernilai negatif.
3. Indah melempar benda dengan persamaan kecepatan v = (3t2 – 12) m/s.Tentukan perpindahan dan
jarak antara t = 0 hingga t = 3 s!
Jawab :
Langkah pertama adalah menginterpretasikan persamaan v = (3t2 – 12) m/s dalam sebuah grafik.
Perpindahan = luas bawah + luas atas
Perpindahan = ò -
3
0
3t 2 12 dt
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 9
Gambar :
Menginterpretasikan sebuah persamaan
kecepatan dalam sebuah grafik, dapat dilakukan
dengan membuat tabel antara t dan v, kemudian
menyusunnya dalam sebuah gambar grafik.
Perpindahan = [ ]3
0
t 3 - 12t
Perpindahan = [33 – 12.3] – [03 – 12.0]
Perpindahan = - 9 m (tanda (-) berarti arah perpindahan berlawanan
dengan arah kecepatan
Jarak = - luas bawah + luas atas
Jarak = - ò -
2
0
3t 2 12 dt + ò -
3
2
3t 2 12 dt
Jarak = - [ ]2
0
t 3 - 12t + [ ]3
2
t 3 - 12t
Jarak = - {[23 – 12.2] – [03 – 12.0]} + {[33 – 12.3] – [23 – 12.2]}
Jarak = - {[8 – 24] – [0 – 0]} + {[27 – 36] – [8 – 24]}
Jarak = - { - 16 } + {7 }
Jarak = 23 m
Contoh 8 :
Fitri mengendarai sepeda dengan kecepatan seperti grafik berikut :
Tentukan :
a. Jarak yang ditempuh setelah sepeda Fitri bergerak 2 s.
b. Jarak total yang ditempuh Fitri selama 8 s.
Jawab :
a. Jarak = Luas segitiga = L I
Jarak = ½ . alas . tinggi
Jarak = ½ . 2 . 4 = 4 m
b. Jarak = L I + L II + L III
Jarak = ( ½ . 2 . 4 ) + ( 4 . 4 ) + ( ½ . 2 . 4 )
Jarak = 4 + 16 + 4 = 24 m
Tugas Kelompok
Gambarlah ruang kelasmu dalam sebuah kertas milimeter blok dan tunjukkan posisi meja masingmasing
temanmu! Selanjutnya, tentukanlah jarak dan perpindahan meja teman-temanmu dalam satu
kelas terhadap meja guru! Kumpulkan denah ruang kelasmu pada guru untuk dinilai. Denah yang
terbaik, layak untuk dipasang di dinding.
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 10
Gambar 6:
Grafik hubungan v dan t yang
menggambarkan gerakan sepeda
yang dilakukan Fitri.
http://fisikavisiku.wordpress.com/
Pekerjaan Rumah
Amatilah gerakan gereta api pada lintasan rel kereta
api. Apakah gerakannya beraturan atau berubah
beraturan? Apakah posisi yang ditempuh memiliki
vektor satuan j dan k?
1.Buatlah persamaan posisi sebagai fungsi waktu
dari gerak kereta tersebut!
2.Buatlah persamaan kecepatan fungsi waktu dari
kereta tersebut!
3. Buatlah persamaan percepatan fungsi waktu dari
kereta tersebut.
11
Uji Kompetensi
Jawablah soal-soal berikut bersama dengan benar!
1. Titik N pada t = 0 berada pada posisi (2,5) m, kemudian pada t = 2 s berada pada posisi (2,8)
m. Tentukan besar vektor kecepatan rata-ratanya!
2. Titik A berada dititik (0,0) saat t = 0 s. Jika pada t = 4 s, berada di (3,4) maka tentukan vektor
kecepatan rata-ratanya!
3. Titik R melakukan gerak dan digambarkan dalam grafik hubungan antara
perpindahan (x) dengan waktu (t). Tentukan besar kecepatan saat t = 5 s !
4.
Partikel W melakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan:
r = ( 3 t2 i + 4 t j ) m. Tentukan:
a. Vektor kecepatan sebagai fungsi waktu,
b. Besar vektor kecepatan saat t = 2 s.
5. Titik A melakukan gerakan pada arah mendatar dengan vektor kecepatan
v = ( 4 t i + 2 j ) m/s. Jika posisi awal titik berada di posisi 3 m, tentukan
vektor posisi titik saat t = 2 s!
6. Jika benda T bergerak pada suatu arah tertentu dengan persamaan kecepatan
v = (t2 - 2 ) m/s. Tentukan perpindahan dan jarak dari t = 0 s hingga t = 4 s !
7. Titik materi P melakukan gerak sesuai grafik berikut.
Tentukan :
a. Jarak yang ditempuh setelah t = 2 s
b. Jarak yang ditempuh setelah t = 4 s
c. Jarak yang ditempuh setelah t = 5 s
d. Jarak yang ditempuh setelah t = 6 s
e. Jarak yang ditempuh setelah t = 7 s
4. Percepatan
Perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut dengan percepatan. Sebagai contoh, saat
kamu berangkat ke sekolah naik motor, motor yang kamu kendarai tentu tidak berjalan pada
kecepatan yang tetap. Motor yang kamu naiki kadang bergerak dengan kecepatan tinggi, kadang
lambat, dan kadang harus berhenti karena terhalang lampu pengatur lalu lintas.
a. Percepatan rata-rata
Adapun pengertian percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dalam selang waktu
tertentu. Semakin besar perubahan kecepatan yang dilakukan, maka tentu percepatan yang dihasilkan
semakin besar. Begitu juga jika selang waktu yang digunakan untuk melakukan perubahan semakin
sempit, maka besar percepatan yang dilakukan semakin besar. Adapun besar dari percepatan rata-rata
dirumuskan :
a =
Δt
Δv
=
2 1
2 1
t t
v v
-
-
Penguraian besaran-besaran yang berhubungan dengan percepatan rata-rata diperoleh dengan
proses yang analogi dengan memperoleh kecepatan rata-rata seperti diuraikan pada bagian
sebelumnya.
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 12
Gambar 8:
Grafik hubungan perpindahan terhadap waktu.
Gambar 9:
Grafik v – t dari gerak titik
materi P
Contoh :
1. Hafidz menaiki motor dengan persamaan kecepatan v = ( 2t2 i + 8 t j ) m/s.
Tentukan:
a. vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
b. komponen sumbu x percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
c. komponen sumbu y percepatan rata-rata t = 1 s hingga t = 3 s
d. besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
e. arah percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
Jawab:
a. a =
Δt
Δv
=
2 1
2 1
t t
v v
-
-
a =
(3 1)
[(2.32 8.3 ) (2.12 8.1 )]
-
i + j - i + j
= ( 8 i + 8 j ) m/s2
b. x a = 8 m/s2
c. y a = 8 m/s2
d. a = 82 + 82 = 8 2 m/s2
e. tan θ =
8
8
maka θ = 45°
b. Percepatan sesaat
Percepatan sebagai perubahan kecepatan terhadap waktu dapat ditentukan dengan analogi
seperti kecepatan sesaat, maka percepatan sesaat dapat ditentukan dengan menentukan kemiringan
garis singgung pada kurva v - t.
Selain dengan menentukan kemiringan suatu grafik v - t, vektor percepatan dapat juga
ditentukan dengan menurunkan fungsi v terhadap t. Dengan demikian terdapat dua cara yang dapat
digunakan dalam menentukan percepatan sesaat, yaitu melalui kemiringan grafik, atau dengan cara
menurunkan fungsi dari kecepatan sesaat.
Contoh:
1. Tentukan percepatan saat t = 2 s, berdasar grafik v - t berikut ini:
Jawab:
Jika dianalisis, saat t = 2 s maka kemiringan garis singgungnya adalah:
a = tan θ
a =
10
9
= 0,9 m/s2
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 13
Gambar 10:
Grafik v - t untuk menentukan
percepatan rata-rata.
Gambar 11:
Menganalisis grafik v-t untuk
menentukan percepatan rata-rata
melalui kemiringan grafik pada suatu
titik.
2. Kecepatan mobil Watik digambarkan oleh grafik berikut:
Tentukan percepatan mobil saat:
a. t = 1 s
b. t = 5 s
c. t = 7 s
Jawab:
a. a = tan θ =
2
4
= 2 m/s2 (t = 1 s bagian kemiringan garis t = 0 sampai t = 2 s)
b. a = tan θ =
4
0
= 0 m/s2
c. a = tan θ =
2
- 4
= - 2 m/s2
3. Luqman menaiki motor dengan kecepatan v = (3 t2 -5) m/s
Tentukan percepatan motor Luqman saat t = 3 s!
Jawab:
a =
dt
dv
a = 6 t m/s2
saat t = 3 s, maka a = 6 .3 = 18 m/s2
4. Percepatan motor yang dinaiki Noval adalah a = 2t i + 3 t2 j
Jika kecepatan awal motor Noval adalah nol, tentukan kecepatan motor Noval saat
t = 2 s!
Jawab :
v = vo + ò (2t i + 3 t2 j) dt
v = 0 + t2 i + t3 j
Saat t = 2 s maka v = 22 i + 23 j = 4 i + 8 j
3. Suatu titik zat bergerak dengan percepatan fungsi dari waktu yaitu a = 4t –2, dan dengan
kecepatan awal vo= 10 m/s. Ternyata pada suatu saat kecepatannya ialah v = 50 m/s.
Berapa lama titik zat bergerak ?
to = 0 → Vo = 10 m/s
t = …? → V = 50 m/s
a = 4t –2
dv = a dt
]
40 2 2 0 0
50 10 2 2
(4 2)
2
2
0
= - - -
- = -
- = -
=
ò
ò ò
t t
t t
V V t dt
dv dt
t
o
t
to
t
to
v
Vo
4. Suatu titik zat bergerak pada sumbu x secara GLBB dengan percepatan 5m/s2. Pada saat
bergerak 2 sekon kecepatannya 20 m/s. Mulai berangkat kedudukannya di x = -15m.
Tentukan persamaan posisi titik zat tersebut.
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 14
Gambar 12:
Grafik hubungan v - t untuk
menetukan percepatan sesaat.
(M) (TM)
t 5det, t 4det
t 5 0 V t 4 0
(t 5) (t 4) 0
t t 20 0
2t 2t 40 0
2
2
= =
- = + =
- + =
- - =
- - =
v 5t 10
c 10
20 5.2 c
t 2 v 20 m/s
v 5t c
v 5t
dv adt
dv adt
\ = +
=
= +
= ® =
= +
=
=
=
ò
ò ò
v 5t 10
c 10
20 5.2 c
t 2 v 20 m/s
t 10
2
x 5
x (5t 10)
dx v dt
dx v dt
2
\ = +
=
= +
= ® =
= +
= +
=
=
ò
ò ò
dt
Persamaan posisi :
5. Sebuah partikel bergerak lurus dengan percepatan a = 12-3s dengan a dalam m/s2 dan s
dalam m.
Cari hubungan antara kecepatan dan perpindahan jika s = 2 m, v = 4 m/s
v 24s 3s 20
v 24s 3s 20
s 10
2
v 12s 3
2
1
c 10
8 24 6 c
2 c
2
.4 12.2 3
2
1
s 2 v 4
s
2
v 12s 3
2
1
v (12s 3s)ds
2
1
vdv ads
2
2
2 2
2 2
2 2
2
= - -
= - -
= - -
= -
= - +
= - +
= ® =
= -
= -
=
ò
ò ò
Jika dalam permasalahan yang ditemui adalah penentuan kecepatan dari grafik a – t
atau penentuan kecepatan dari fungsi percepatan, maka kecepatan suatu titik, dapat
ditentukan dari integral fungsi dari percepatan tersebut. Secara matematis, fungsi integral
tersebut senilai dengan luas daerah di bawah grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui
luas daerah dibawah grafik percepatan terhadap waktu maka nilai kecepatan sesaat dapat
ditentukan.
Persamaan vektor kecepatan dapat ditentukan dengan mengintralkan persamaan vektor percepatan,
sehingga persamaan vektor kecepatan
v = vX i + vY j → vX = v0X + ò aX dt
vY = v0Y + ò aY dt
Contoh:
1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan v = ( t2 -5t) m/s
Tentukan percepatan mobil saat t = 4 s !
Jawab :
a =
dt
dv
a = 2t - 5 m/s2 = 2.4 – 5 = 3 m/s2
jadi a = 3 m/s2
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 15
t 10t 15)i
2
r = (5 2 + + -
2. Percepatan yang dimiliki mobil eko dalah a = t 3i + 3 t2 j
Jika kecepatan awal adalah 2i, tentukan vektor kecepatan mobil tersebut dan besarnya kecepatan
ketika t = 4 s !
Jawab :
v = vo + ò ( t 3i + 3 t2 j ) dt
v = 2 i +
4
1
t4 i + t3 j→ v = (2 +
4
1
44) i + 43 j→ v = 68 i +64 j
Vektor kecepatan mobil v = 68 i +64 j dan
besarnya v = 682 + 642 = 8720 = 93,4 m/s.
Demikian pula penentuan posisi dari grafik v – t atau penentuan posisi dari fungsi
kecepatan, maka posisi suatu titik, dapat ditentukan dari integral fungsi dari kecepatan
tersebut. Secara matematis, fungsi integral tersebut senilai dengan luas daerah di bawah
grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas daerah dibawah grafik kecepatan
terhadap waktu maka nilai posisi dapat ditentukan.
Rumus menentukan posisi dengan mengintegralkan kecepatan sebagai berikut.
r = x i + y j dimana x = x0 + ò vx dt dan y = y0 + ò vy dt
atau r = ro + ò v dt
Contoh:
1. Suatu benda dari keadaan diam dan mengalami percepatan seperti grafik berikut ini.
Tentukan kecepatan saat:
a. t = 1 s
b. t = 5 s
c. t = 7 s
Jawab:
a. v = v0 + Luas segi tiga dengan alas 1
v = 0 + ½ . 1 . 3
v = 1,5 m/s
b. v = v0 + Luas segi tiga + Luas persegi panjang
v = 0 + ½ . 2 . 3 + 3 . 3
v = 12 m/s
c. v = v0 + Luas segi tiga + Luas persegi panjang + L trapesium
Mengingat saat t = 7 s, nilai a belum diketahui, maka langkah yang ditempuh adalah
dengan menetukan persamaan garis melalui (6,3) dan (8,0), yaitu:
y – y1 = m (x - x1) sehingga y = -1,5 x + 12,
maka saat t = 7 diperoleh nilai a = -1,5 . 7 + 12 = 1,5 m/s2
v = 0 + ½ . 2 . 3 + 4 . 3 + (3 + 1,5) . ½ . 1
v = 0 + 3 + 12 + 2,25 = 17,25 m/s
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 16
Gambar 13:
Grafik a – t untuk menentukan
kecepatan sesaat.
2. Suatu Partikel posisi awalnya berada pada (i + 2 j) bergerak dengan kecepatan v = ( 2
t2 i - t j ) m/s, maka tentukan vektor posisi partikel saat t = 1 s !
Jawab :
r = ro + ò a v dt
r = (i + 2 j) + ò (2t 2 i - t j) dt
r = (i + 2j) + (
3
2
t3 i -
2
1
t2 j)
Ketika t = 1 s maka r = (i + 2 j) + (
3
2
(1)3 i -
2
1
(1)2 j) = 1
3
2
i - 1
2
1
j
r = (
3
5
i -
2
3
j ) m/s
3. Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan percepatan 4 ί m/s2 dan kecepatan
awal 20 ί m/s2. Jika posisi awal benda itu Xo = 10 ί meter, tentukan persamaan benda
untuk setiap saat.
Jawab : a = 4 ί m/s2 x = …?
νo = 20 ί m/s
Xo = 10 ί m
dv = a.dt
ò = ò
t
to
V
Vp
dv adt
V - Vo =
[ ]
ò t
tp
4dt
V – 20 = 4t ]
t
o
V – 20 = 4t – 0
V = (4t + 20) ί m/s
dx = V.dt
ò = ò t
to
x
Xo
dx V.dt
x - xo = ò + t
to
(4t 20)dt
x – 10 = 2t2 + 20t ]
t
o
x – 10 = 2t2 + 20t – 0 – 0
\ x = (2t2 + 20t +10) ί m
4. Suatu titik zat bergerak pada bidang datar pada sumbu cartesius yang kecepatannya
merupakan fungsi dari waktu dengan persamaan sebagai berikut :
vx = 4t + 4 (untuk t = 0 → x = 1)
vy = 4 (untuk t = 0 → y = 2)
Tentukan persamaan posisi titik zat tersebut.
Tentukan pula posisi pada t = 1 sekon
Jawab :
dt
Vx = dx
4t + 4 =
dt
dx
dx = ( 4t + 4) dt
∫ dx = ∫ (4t + 4) dt
x = 2t2 + 4t + c
t = 0 → x = 1
1 = 2.02 + 4 + 1
C = 1
Maka x =2t2 + 4t +m 1
dt
Vy = dy
dt
4 = dy
dy = 4 dt
∫dy = ∫ 4t + C
t = 0 → y = 2
2= 4.0 + C
C = 2
Maka y = 4t + 2
\ r = x ί + y j
r = (2t2 + 4t + 1) ί + (4t +2)j
Atau dengan integral batas sebagai berikut :
to = 0 → xo = 1
ò = ò + t
to
x
xo
dx (4t 4)dt
x-xo = 2t2 + 4t ]t
to 0 =
x-1 = 2t2 + 4t – (2.02 + 4.0)
x = 2t2 + 4t + 1
to = 0 → yo = 2
ò = ò t
to
y
yo
dy 4dt
y – yo = 4t ]t
to 0 =
y –2 = 4t – 4.0
y = 4t + 2
\ r = (2t2 + 4t + 1)ί + (4t + 2) j
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 17
Uji Kompetensi
Kerjakan soal-soal berikut bersama kelompokmu!
1. Doni mengendarai motor dengan vektor kecepatan v = 7 t2 i – 3 t j. Tentukan:
a. vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
b. besar vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
2. Witri mengendarai motor dengan kecepatan seperti grafik berikut:
Tentukan percepatan saat:
a. t = 2 s
b. t = 8 s
c. t = 12 s
3. Akmal mengendarai mobil dengan vektor kecepatan v = (3 t – 2 ) i + 4 t2 j
Tentukan:
a. vektor percepatannya
b. komponen sumbu x vektor percepatannya
c. komponen sumbu y vektor percepatannya
d. besar percepatan saat t = 2 s
e. arah percepatan saat t = 2 s
4. Mobil Pak Tomy mula-mula diam, kemudian selama 4 s dipercepat dengan percepatan
a = 2 t i + 3 t2 j
Tentukan:
a. vektor kecepatannya
b. komponen sumbu x vektor kecepatannya
c. komponen sumbu y vektor kecepatannya
d. besar kecepatan mobil Pak Tomy saat t = 2 s
5. Mobil Ajeng yang mula-mula diam, kemudian bergerak dengan percepatan seperti
grafik berikut ini:
Tentukan kecepatan saat:
a. t = 5 s
b. t = 15 s
c. t = 18 s
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 18
Gambar 14 :
Grafik v – t untuk menentukan
percepatan sesaat, dengan
menentukan kemiringan dari grafik
pada suatu saat.
Gambar 15:
Grafik a – t untuk menentukan
kecepatan sesaat dengan menghitung
luas daerah di bawah kurva
6. Sebuah titik D melakukan perpindahan yang ditunjukkan dengan vektor perpindahan
sebagai berikut:
r = (4 t2 + 6 t) i + (8 + 2 t3) j m
Tentukan:
a. vektor kecepatannya
b. kecepatan saat t = 4 s
c. vektor percepatan
d. percepatan saat t = 2 s
7. Jika mobil Husien mula-mula diam dan berada di pusat koordinat, kemudian diberi
percepatan selama 3 s, maka tentukan besar perpindahannya, jika vektor percepatannya
adalah:
a = 3 t i + 2 j
8. Balon gas terbang keatas mula-mula berada pada kecepatan v 0 = i + 2 j. Kemudian
selama 2 s dipercepat dengan percepatan a = ( t 3 -2t) i + 3 t2 j
Tentukan :
a. vektor kecepatannya sebagai fungsi waktu
b. besarnya kecepatan ketika t = 4 sekon.
c. Vektor posisi sebagai fungsi waktu jika posisi mula-mula. (2,4 ) m.
d. Tentukan perpindahan dan jarak yang ditempuh dari t = 0 sampai t = 4 sekon.
9. Sebuah titik A melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan sebagai berikut :
r = (3 t2 + 3 t) i + (2 + 4 t3) j m
Tentukan :
a. vektor kecepatannya sebagai fungsi waktu
b. kecepatan saat t = 2 s
c. vektor percepatan sebagai fungsi waktu
d. percepatan saat t = 2 s
10. Suatu benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = (3t2 – 3t-6) m/s.Tentukan
perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 4 s !
B. Gerak Parabola
Gerak parabola merupakan kombinasi dua gerak sekaligus, yaitu gerak mendatar
dengan kecepatan tetap, artinya tanpa percepatan, dan gerak vertikal yang merupakan gerak
berubah beraturan, yang artinya mempunyai percepatan tetap.
Gerak parabola dapat diamati pada pertandingan sepak bola. Saat kiper melakukan
tendangan gawang, umumnya kiper akan melakukan tendangan yang jauh ke depan, menuju
daerah lawan dengan menggunakan tendangan yang menghasilkan lintasan berupa gerak
parabola atau gerak peluru. Pada sudut berapakah tendangan kiper tersebut akan mencapai
jarak tendangan yang terjauh? Diskusikanlah bersama teman sebangkumu!
Kegiatan Kelompok :
Lakukanlah kegiatan kelompok sebagai berikut :
1. Ambil dua bola ping pong!
2. Letakkan dua bola ping pong tersebut di tepi sebuah meja yang cukup tinggi!
3. Jatuhkan secara bersamaan kedua bola tersebut dengan ketentuan sebagai berikut:
a. Bola pertama jatuh bebas dari tepi meja
b. Bola kedua diberi kecepatan mendatar sejajar meja
4. Catat waktu yang diperlukan bola pertama dan kedua untuk sampai di tanah!
5. Buat perbandingan kesimpulan dari kedua waktu tibanya kedua bola di tanah!
6. Analisislah gerakan kedua bola tersebut!
Beberapa asumsi penyederhanaan yang digunakan dalam membahas gerak parabola
dalam kajian ini adalah bahwa hambatan udara dan rotasi bumi tidak mempengaruhi dalam
perhitungan, dan nilai pecepatan gravitasi bumi dianggap 10 m/s2, kecuali terdapat
penjelasan dalam soal.
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 19
Gambar 16: Grafik lintasan parabola.
Beberapa persamaan yang berhubungan dengan gerak parabola adalah :
Sumbu X :
vox = vo . cos θ
vx = vo . cos θ
x = vx . t = vo . cos θ . t
Sumbu Y :
voy = vo . sin θ
vy = vo . sin θ – g . t
y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2
Persamaan kecepatan dan arah gerakan partikel :
v = 2 3
x y v + v
tan α =
x
y
v
v
Keterangan :
1. vo = kecepatan awal (m/s)
2. vox = kecepatan awal pada sumbu x (m/s)
3. voy = kecepatan awal pada sumbu y (m/s)
4. vx = kecepatan pada sumbu x (m/s)
5. vy = kecepatan pada sumbu y (m/s)
6. v = kecepatan pada suatu saat (m/s)
7. x = kedudukan atau posisi pada sumbu x (m)
8. y = kedudukan atau posisi pada sumbu y (m)
9. α = arah gerakan partikel (°)
10. θ = sudut elevasi (°)
11. g = percepatan gravitasi bumi (m/s2)
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 20
Beberapa hal penting berkaitan dengan gerak parabola:
1. Persamaan yang tersebut pada bagian awal didasarkan pada gerakan benda yang
mengarah ke atas, sedang arah percepatan gravitasi bumi ke bawah, sehingga
persamaan di atas menggunakan tanda negatif (-) untuk nilai g. Namun jika gerakan
diawali dengan gerak ke bawah, seperti gerakan bom yang dijatuhkan dari pesawat,
maka arah gerak benda searah dengan percepatan gravitasi, sehingga persamaan yang
mengandung unsur g yang semula negatif, berubah menjadi positif, karena arah gerak
benda searah dengan arah percepatan benda.
2. Pada titik tertinggi nilai vy = 0 m/s, sehingga nilai v = vox = vx
3. Pada titik terjauh nilai y = 0. Jika saat mencari t dari y = 0, diperoleh dua nilai t, di
mana salah satu nilainya umumnya nol, maka nilai t yang digunakan adalah yang
besar.
Diskusi Kelompok
Buatlah kelompok maksimum 5 orang untuk berdiskusi secara matematis dan membuktikan
persamaan matematis berikut ini :
a. Koordinat titik puncak (xMAX , y MAX )
dimana xMAX =
g
v
2
2 sin 2
0 a
, y MAX =
g
v
2
2 sin 2
0 a
, α = sudut elevasi
g = percepatan gravitasi bumi (m/s2)
vo = kecepatan awal (m/s)
b. Waktu untuk mencapai titik tertinggi atau tinggi maksimum tP = g
v sina 0
Waktu untuk mencapai jarak mendatar terjauh atau jatuh kembali ke tanah tJ = 2. tP
c. Jarak mendatar terjauh x Jauh = 2 xMAX
Jarak mendatar mencapai maksimum ketika sudut elevasi α = 450
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 21
Gambar 17: berbagai posisi pada lintasan gerak parabola
X
y
d. Pasangan sudut elevasi (α1 dan α2 ) akan mencapai jarak mendatar terjauh yang
sama jika
α1 + α2 = 900
Contoh :
1. Sebuah panah dilepaskan dari busur dengan kecepatan awal 100 m/s dan sudut elevasi
37° Tentukan :
a. vektor posisi panah saat t = 1 s
b. vektor posisi ketika panah mencapai titik tertinggi.
c. vektor posisi di titik mendatar terjauh
d. vektor kecepatan dan besarnya saat t = 1 s
e. arah kecepatan saat t = 1 s
Jawab :
a. x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° . 1 = 100 . 0,8 = 80 m
y = vo . sin θ . t – ½ g t 2 = 100 . sin 37° . 1 – ½ .10.12 = (100 .0,6– 5) = 55 m
Jadi vektor posisi panah setelah 1 s adalah r = (80 i + 55 j) m
b. Pada titik tertinggi vy = 0 sehingga :
vy = vo sin θ – g . t
0 = 100 . sin 37° – 10 . t maka diperoleh nilai t
t = 6 s
Nilai t tersebut kemudian dimasukkan pada
x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° .6 = 100 . 0,8 . 6 = 480 m
y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 100 . sin 37° 6– ½ .10. (6)2 = 360 – 180 =180 m
Jadi vektor posisi panah pada titik tertinggi adalah r = (480 i + 180 j) m
c. Pada titik mendatar terjauh y = 0, kemudian nilai t tersebut dimasukkan ke x
y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2
0 = 100 . sin 37° . t – ½ .10. t2 → 0 = 60 t – 5 t2
- 60 t = - 5 t2 → t = 12 sekon
maka x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° .12 = 720 m
Jadi vektor posisi panah di titik mendatar terjauh adalah r = (720 i + 0 j) m
d. vx = vo . cos θ = 100 . cos 37° = 100 . 0,8 = 80 m/s
vy = vo . sin θ – g . t = 100 sin 37° – 10 . 1 = (60 - 10) = 50 m/s
jadi vektor kecepatan panah v = vX i + vY j = 80 i + 50 j
Besarnya v = 2 3
x y v + v = (80) 2 + (50) 2 = 6400 + 2500 = 94,33 m/s
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 22
e. tan θ =
x
y
v
v
=
80
50
= 0,625 maka θ = 32°
2. Ketika terjadi bencana Tsunami, banyak daerah yang membutuhkan bantuan makanan
dan alat-alat kesehatan, akan tetapi lokasi bantuan sulit terjangkau. Untuk
mengatasinya bahan makanan dan bantuan alat kesehatan tersebut dijatuhkan dari
pesawat militer. Jika bantuan makanan dijatuhkan pada ketinggian 500 dari pesawat
pengangkut yang bergerak mendatar dengan kecepatan 50 m/s, maka hitunglah jarak
mendatar dari pesawat ke lokasi agar bantuan makanan jatuh tepat pada sasaran ?
Jawab :
x = ....? y0 = 500 m y = 0 θ = 0 0
y = y0 + vo . sin θ . t + ½ . g . t 2
0 = 500 + 0 - ½ . 10 . t 2 maka t = 10 s
x = vox . t = vo . cos θ . 10 . = 50 . 1 .10 = 500 m
3. Sebuah bola ditendang dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal 20 m/s. Tentukan:
a. posisi saat t = 1 s
b. koordinat titik tertinggi
c. koordinat titik terjauh
d. kecepatan saat t = 1 s
e. arah kecepatan saat t = 1 s
Jawab :
a. x = vo . cos θ . t = 20 . cos 45° . 1 = 10 2 m/s
y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 20 . sin 45° . 1 – ½ .10.12 = (10 2 – 5) m/s
Jadi posisi bola setelah 1 s adalah (10 2 ; 10 2 – 5) m/s
b. Pada titik tertinggi vy = 0 sehingga :
vy = vo . sin θ – g . t
0 = 20 . sin 45° – 10 . t maka diperoleh nilai t
t = 2 s
Nilai t tersebut kemudian dimasukkan pada:
x = vo . cos θ . t = 20 . cos 45° . 2 = 20 m/s
y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 20.sin 45° . 2 – ½ .10. ( 2 )2 = 10 m/s
Jadi posisi bola pada titik tertinggi adalah (20, 10) m/s.
c. Pada titik terjauh y = 0, kemudian nilai t tersebut dimasukkan ke x
y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2
0 = 20 . sin 45° . t – ½ .10. t2
maka diperoleh nilai t = 0 atau t = 2 2 s. Gunakan t = 2 2 s maka
x = vo . cos θ . t = 20 . cos 45° . 2. 2 = 40 m
Jadi posisi bola di titik terjauh adalah (40 , 0) m
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 23
d. vx = vo . cos θ = 20 . cos 45° = 10 2 m/s
vy = vo . sin θ – g . t = 20 . sin 45° – 10 . 1 = (10 2 - 10) m/s
v = 2 3
x y v + v = ( )2 ( )2 10 2 + 10 2 - 10 = 10 5 - 2 2 m/s
e. tan α =
x
y
v
v
=
10 2
(10 2 - 10)
= 0,293 maka α = 16,3°
4. Dari puncak gedung setinggi 125 m, Arsa melempar bola mendatar dengan kecepatan
10 m/s. Tentukan :
a. waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah
b. jarak mendatar yang ditempuh bola
Jawab :
a. vox = 10 m/s dan voy = 0 m/s
y = vo . sin θ . t + ½ . g . t 2
125 = 0 + ½ . 10 . t 2 maka t = 5 s
b. x = vox . t = 10 . 5 = 50 m
Uji Kompetensi
1. Sebuah anak panah dilepaskan dari busur dengan kecepatan awal 50 m/s dan sudut
elevasi 60°. Tentukan vektor posisi ketika anak panah menyentuh tanah.
2. Jika sebuah rudal kendali dijatuhkan dari pesawat pada ketinggian 1000 m di atas
permukaan tanah, dengan kecepatan mendatar 100 m/s, maka tentukan jarak mendatar
yang ditempuh rudal kendali.
3. Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 50 m/s dengan sudut elevasi 53°
membentuk lintasan gerak parabola dengan percepatan gravitasi bumi g =10 m/s.
Tentukan :
a. vektor posisi bola ketika t = 2 sekon.
b. vektor posisi dan kecepatan bola ketika mencapai titik tertinggi.
c. vektor kecepatan dan besar kecepatan bola saat t = 4 sekon.
d. arah kecepatan bola ketika t = 4 sekon.
e. vektor posisi bola ketika mencapai tanah.
f. waktu untuk mencapai tanah.
4. Anggun melemparkan bola basket dengan vektor posisi r = 2 t i + (4 t2 -2) j. Tentukan
vektor posisi dan vektor kecepatan ketika bola mencapai tertinggi.
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 24
5. Perhatikan gambar di bawah. Sebuah anak panah dilepaskan dengan vektor kecepatan
vektor v = 2 i + 8t j maka tentukan vektor posisi sebagai fungsi waktu dan vektor
kecepatan panah ketika tiba ditanah.
Kegiatan Kelompok
· Bentuklah sebuah kelompok yang beranggotakan 3 – 5 orang!
· Diskusikan dalam kelompokmu tentang beberapa jenis gerak yang ada di sekitar kita
yang termasuk gerak parabola! Apakah gerakan pesawat terbang saat naik termasuk
gerak parabola? Apakah gerak bom atom saat dijatuhkan dari pesawat pengebom di
Hirosima termasuk gerak parabola? Apakah gerakan roket Eksoset saat diarahkan ke
pesawat tempur merupakan gerak parabola? Apakah gerak peluru yang ditembakkan ke
atas merupakan gerak parabola?
Pekerjaan Rumah
1. Yanti memukul shuttle cock dengan kecepatan awal 20 m/s dan sudut elevasi 60°.
Tentukan jarak terjauh yang ditempuh shuttle cock tersebut !
2. Sebuah bom dijatuhkan dari pesawat di ketinggian 2.000 m di atas permukaan tanah,
dengan kecepatan mendatar 200 m/s. Tentukan jarak mendatar yang ditempuh bom!
3. Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 10 m/s sehingga mengenai dinding
setinggi 20 m dan jarak mendatar 40 m. Tentukan sudut elevasinya !
4. Kopral Jono menembakkan peluru dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal 100
m/s. Tentukan koordinat titik tertingginya!
5. Dimas melempar bola dengan vektor posisi r = 5 t i + (2 t2 -1) j, tentukan vektor posisi
titik tertinggi yang dicapai bola.
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 25
Gambar 18: Anak panah dilepaskan membentuk lintasan parabola.
1,5 m
6. Nouval melempar batu dengan vektor posisi r = 2 t2 i + (4 t2 - 8t) j. Tentukan vektor
posisi pada jarak terjauhnya!
C. Posisi Sudut, Kecepatan Sudut, dan Percepatan Sudut pada Gerak Melingkar
1. Posisi Sudut
Posisi sudut akan menggambarkan kedudukan dari suatu sudut dalam gerak melingkar
beraturan. Tentu saja pusat gerak melingkar tersebut akan dijadikan sebagai pusat titik
acuan. Seperti telah disampaikan terdahulu, bahwa semua gerak tetap memerlukan suatu titik
acuan.
Besarnya sudut yang ditempuh gerak melingkar tersebut tiap satuan waktu disebut
dengan kecepatan sudut. Dalam hal ini, satuan dari kecepatan sudut dapat dinyatakan dalam
rad/s atau putaran per menit (rpm). Perubahan kedua satuan tersebut didasarkan bahwa satu
putaran senilai dengan 2 π radian.
Sedangkan percepatan sudut adalah laju perubahan kecepatan sudut yang terjadi tiap
satuan waktu. Semakin besar perubahan kecepatan sudut yang terjadi, maka akan semakin
besar pula kecepatan sudut yang terjadi pada gerak melingkar tersebut. Demikian juga jika
semakin besar pengurangan kecepatan sudut yang dilakukan gerak melingkar maka semakin
besar nilai perlambatan sudut dari gerak melingkar itu.
2. Kecepatan Sudut
Jika kita memperhatikan seorang pesenam di atas lantai es yang licin saat ia
melakukan gerak melingkar, maka gerakan tubuhnya yang semula bergerak melingkar
beraturan akan berubah menjadi bergerak melingkar berubah beraturan semakin cepat saat ia
mengubah posisi dari tangannya, serta memberikan sejumlah gaya pada dirinya.
a. Kecepatan sudut rata-rata
Kecepatan sudut rata-rata sebagai hasil bagi perpindahan sudut dengan selang waktu
yang ditempuh dapat dirumuskan:
w =
D t
D q
b. Kecepatan sudut sesaat
Sedang kecepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari posisi sudut, atau dapat
pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik posisi sudut terhadap waktu.
Kecepatan sudut sesaat dirumuskan:
dt
w = dq
3. Percepatan Sudut
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 26
a. Percepatan sudut rata-rata
Percepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi kecepatan sudut dengan selang waktu yang
ditempuh. Percepatan sudut rata-rata dirumuskan:
a =
D t
D w
b. Percepatan sudut sesaat
Percepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari kecepatan sudut, atau dapat pula
ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik kecepatan sudut terhadap waktu.
Percepatan sudut sesaat dirumuskan:
dt
a = dw
Coba kamu amati gerak roda motor dalam perjalanan menuju ke sekolah! Selama
perjalanan roda tersebut tidak mungkin memiliki kecepatan sudut yang tetap. Roda itu
kadang berputar pelan, karena harus menghindari rintangan, atau kadang harus berputar
lebih cepat karena melewati jalan lurus dan sepi tanpa hambatan. Bahkan roda itu kadang
harus berhenti karena lampu merah pengatur jalan raya menyala. Adanya perubahan
kecepatan sudut dari roda tersebut akan menunjukkan besar dari percepatan sudut yang
terjadi pada roda.
Contoh :
1. Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan :
θ = (3 t2 + 2) rad, maka tentukan :
a. posisi sudut saat t = 0 s
b. posisi sudut saat t = 2 s
c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 2 s
d. kecepatan sudut saat t = 3 s
Jawab :
a. θ = (3 (0)2 + 2) = 2 rad
b. θ = (3 (2)2 + 2) = 14 rad
c. w =
D t
D q
= (2 0)
(14 2)
-
-
= 6 rad/s
d. ω =
dt
dq
= (6 t ) = ( 6 . 2 ) = 12 rad/s
2. Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan:
θ = (2 t2 + 5) rad, maka tentukan :
a. posisi sudut saat t = 0 s
b. posisi sudut saat t = 3 s
c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 3 s
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 27
d. kecepatan sudut saat t = 3 s
Jawab :
a. θ = (2 (0)2 + 5) = 5 rad
b. θ = (2 (3)2 + 5) = 23 rad
c. w =
D t
D q
= (3 0)
(23 5)
-
-
= 6 rad/s
d. ω =
dt
dq
= (4 t ) = ( 4 . 3 ) = 12 rad/s
3. Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar pada tepi sebuah roda adalah:
θ = (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad
Tentukan :
a. Kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s
b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s
c. Kecepatan sudut saat t = 2 s
d. Percepatan sudut saat t = 2 s
Jawab :
θ = (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad
ω = (12 t2 + 10 t + 2 ) rad/s
α = (24 t + 10 ) rad/s2
a. θ = (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad
θ1 = (4 .03 + 5 .02 + 2 .0 + 6 ) rad = 6 rad
θ2 = (4. 43 + 5 .42 + 2 .4 + 6 ) rad = 350 rad
w =
D t
D q
= (4 0)
(350 6)
-
-
= 86 rad/s
b. ω = (12 t2 + 10 t + 2 ) rad/s
ω1 = (12.02 + 10.0 + 2 ) rad/s = 2 rad/s
ω2 = (12.42 + 10.4 + 2 ) rad/s = 234 rad/s
a =
D t
D w
= (4 0)
(234 2)
-
-
= 58 rad/s2
c. ω = (12 .22 + 10 . 2 + 2 ) = 70 rad/s
d. α = (24. 2 + 10 ) = 58 rad/s2
Uji Kompetensi
1. Posisi sudut sebuah titik yang berada pada ujung roda sepeda ditentukan oleh persamaan :
θ = (2 t3 + 2t) rad, maka tentukan :
a. posisi sudut saat t = 3 s
b. posisi sudut saat t = 4 s
c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 3 s hingga t = 4 s
d. kecepatan sudut saat t = 2 s
e. persamaan percepatan sudut sebagai fungsi waktu
2. Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar pada terpi sebuah roda adalah:
θ = ( t3 + t2 + t + 1 ) rad
Tentukan :
a. Kecepatan sudut rata-rata dari t = 1 hingga t = 2 s
b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 1 hingga t = 2 s
c. Kecepatan sudut saat t = 1 s
d. Percepatan sudut saat t = 1 s
3. Sebuah roda mobil mula-mula diam, kemudian dalam 3 sekon dipercepat sehingga
menempuh sudut 2 putaran. Tentukan besar kecepatan sudut setelah 3 sekon dan
kecepatan sudut rata-ratanya ?
4. Sebuah roda sepeda mula-mula diam, kemudian dalam 2 sekon dipercepat sehingga
menempuh sudut 4 putaran. Tentukan besar kecepatan sudut rata-ratanya!
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 28
5. Jika posisi sudut dari suatu gerak melingkar beraturan dirumuskan dalam persamaan θ
= (
6
5
t3 + 5 t2 + 4) rad, maka tentukan kecepatan sudut saat t = 4 sekon!
Pekerjaan Rumah
Lakukan pengamatan terhadap beberapa gerak melingkar sebagai berikut bersama
kelompokmu !
1. Gerakan roda sepeda yang berjalan mengelilingi lapangan sekolah.
2. Gerakan kipas angin.
3. Amati juga tiga gerak melingkar lainnya di sekitarmu
4. Buatlah analisis dari gerakan-gerakan tersebut dan buatlah kesimpulannya! Apakah
gerakan-gerakan tersebut memiliki karakteristik gerakan yang sama?
Pengintegralan Fungsi pada Gerak Melingkar
Posisi sudut θ suatu fungsi dapat juga ditentukan dari pengintegralan persamaan kecepatan
sudut dengan rumus :
θ = θ0 + ò t w dt
Persamaan kecepatan sudut dapat ditentukan dengan pengintegral persamaan percepatan
sudut.
w = w 0 + ò t a dt
Contoh:
1. Jika kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :
ω = (3 t2 + t ) rad/s, tentukan:
a. kecepatan sudut saat t = 1 s
b. kecepatan sudut saat t = 4 s
c. percepatan sudut rata-rata dari t = 1 s hingga t = 4 s
d. percepatan sudut saat t = 5 s
e. posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 2 rad
Jawab :
a. ω = (3 (1)2 + 1 ) = 4 rad/s
b. ω = (3 (4)2 + 4 ) = 52 rad/s
c. a =
D t
D w
= (4 1)
(52 4)
-
-
= 16 rad/s
d.
dt
a = dw = (6 t + 1) maka saat t = 5 s besar
e. θ = θo + ò (3t 2 + t)dt
θ = 2 + t3 + ½ t2 , saat t = 2 s, maka diperoleh
θ = 12 rad
2. Kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :
ω = (4 t3 + 2t ) rad/s, maka tentukan :
a. kecepatan sudut saat t = 1 s
b. kecepatan sudut saat t = 2 s
c. percepatan sudut rata-rata dari t = 1 s hingga t = 2 s
d. percepatan sudut saat t = 2 s
e. posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 5 rad
Jawab :
a. ω = (4 (1)3 + 2.1 ) = 6 rad/s
b. ω = (4 (2)3 + 2.2 ) = 36 rad/s
c. a =
D t
D w
= (2 1)
(36 6)
-
-
= 30 rad/s2
d.
dt
a = dw = (12 t 2+ 2) maka saat t = 2 s besar
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 29
a = (12 2 2+ 2) = 50 rad/s2
e. θ = θo + ò (4t 3 + 2t)dt
θ = 5 + t4 + t2 , saat t = 2 s, maka diperoleh
θ = 25 rad
Uji Kompetensi
1. Kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :
ω = ( t3 + 2t +3 ) rad/s, maka tentukan :
a. kecepatan sudut saat t = 0 s
b. kecepatan sudut saat t = 4 s
c. percepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 4 s
d. percepatan sudut saat t = 2 s
e. posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 2 rad
2. Percepatan sudut sebuah titik yang bergerak melingkar dinyatakan dengan
a = 3t + 2.dan kecepatan sudut awal 3 rad/s sedangkan posisi mula-mula 2 rad
Tentukan :
a. Persamaan kecepatan sudut sebagai fungsi waktu
b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 3 s
c. Persamaan vektor posisi sebagai fungsi waktu.
d. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 2 s.
Ulangan BAB 1
Soal-soal Uraian
Jawablah soal-soal berikut dengan tepat!
1. Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (4,6). Nyatakan
koordinat titik tersebut dalam koordinat polar!
2. Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (2, 135°). Nyatakan koordinat
tersebut dalam koordinat kartesius!
3. Suatu titik A mempunyai kedudukan yang ditunjukkan koordinat kartesius (2,-4).
Tentukan vektor posisi titik tersebut!
4. Titik H mempunyai kedudukan (10, 60°). Tentukan vektor posisi titik tersebut!
5. Titik N pada saat t = 0 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi (5,5)
m. Tentukan:
a. vektor perpindahannya
b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x
c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y
d. besar perpindahannya
e. arah perpindahannya
6. Titik A mempunyai vektor posisi r = t 2 i + 2 t j. Tentukan:
a. Vektor posisi awal (saat t = 0 s)
b. Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 s
c. Besar vektor perpindahannya
7. Vektor posisi dari titik R dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur
waktu, yaitu: r = 2t i + 4t2 j. Tentukan:
a. vektor perpindahan dari t = 1 s hingga t = 2 s
b. besar vektor perpindahan
8. Vektor posisi W dinyatakan dalam r = (2 + 3t) i + 2t2 j. Tentukan besar vektor
perpindahannya dari t = 0 s hingga t = 7 s !
9. Vektor posisi A dinyatakan dalam r = t2 i – 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan
arah perpindahannya dari t = 1 s hingga t = 5 s !
10. Titik materi T pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada
pada posisi (8,8) m. Tentukan:
a. vektor kecepatan rata-ratanya
b. besar vektor kecepatan rata-rata
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 30
11. Titik I melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan:
r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m.
Tentukan :
a. vektor kecepatan saat t = 2 s
b. besar kecepatan saat t = 2 s
12. Indah melempar benda dengan persamaan kecepatan v = (2t2 – 12) m/s.Tentukan
perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 4 s !
13. Fitri mengendarai sepeda dengan kecepatan seperti grafik berikut :
Tentukan :
a. Jarak yang ditempuh setelah sepeda Fitri bergerak 7 s
b. Jarak total yang ditempuh Fitri selama 8 s
14. Partikel D melakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan :
r = ( 2 t2 i + t j ) m. Tentukan :
a. Vektor kecepatan sebagai fungsi waktu
b. Besar vektor kecepatan saat t = 2 s
15. Titik materi I melakukan gerak sesuai grafik berikut.
Tentukan :
a. Jarak yang ditempuh setelah t = 1 s
b. Jarak yang ditempuh setelah t = 3 s
c. Jarak yang ditempuh setelah t = 5,5 s
16. Pak Karta menaiki motor dengan persamaan kecepatan
v = ( 2t2 i + 8 t j ) m/s Tentukan:
a. vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
b. besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s
17. Percepatan yang dimiliki motor Dydy adalah a = t2 i + 3 t2 j
Jika kecepatan awal motor Dydy adalah nol, tentukan kecepatan motor Dydy saat
t = 2 s !
18. Suatu benda dari keadaan diam dan mengalami percepatan seperti grafik berikut ini.
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 31
Grafik hubungan v dan t yang
menggambarkan gerakan sepeda
yang dilakukan Fitri
Grafik v - t
Grafik a – t untuk menentukan
kecepatan sesaat
Tentukan kecepatan saat 5 s !
19. Sebuah titik D melakukan perpindahan yang ditunjukkan dengan vektor perpindahan
sebagai berikut:
r = (2 t2 + 3 t) i + (1 + 2 t3) j m
Tentukan:
a. vektor kecepatan saat t = 4 s
b. vektor percepatan saat t = 2 s
20. Sebuah bola ditendang Akmal dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal
40 m/s. Tentukan:
a. koordinat titik tertinggi
b. koordinat titik terjauh
21. Jika bola ditendang dengan kecepatan awal 20 m/s sehingga mengenai dinding setinggi
40 m dan jarak mendatar 40 m, maka tentukan sudut elevasinya!
22. Jika Nambuhan menembakkan peluru dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal
200 m/s, maka tentukan koordinat titik terjauhnya!
23. Jika Hafidz melempar bola dengan vektor posisi r = 8 t i + (2 t2 -2) j, maka tentukan
vektor posisi titik tertinggi yang dicapai bola.
24. Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan:
θ = (4 t2 + 5) rad, maka tentukan :
a. posisi sudut saat t = 0 s
b. posisi sudut saat t = 3 s
c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 3 s
d. kecepatan sudut saat t = 3 s
25. Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar dinyatakan:
θ = (2 t3 + 3 t2 + 2 t + 2 ) rad
Tentukan :
a. Kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s
b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s
c. Kecepatan sudut saat t = 2 s
d. Percepatan sudut saat t = 2 s
Soal Pilihan Ganda
Pilihlah jawaban yang benar!
1. Seorang anak mengendarai sepeda sejauh 3 km dengan arah 30° timur laut. Jika arah
timur dijadikan sumbu x positif maka notasi vektor perpindahannya adalah....
a. Δ r = (1,5 3 i + 1,5 j) d. Δ r = (3 3 i + 1,5 3 j)
b. Δ r = (2,5 3 i + 1,5 j) e. Δ r = (3 3 i + 3 j)
c. Δ r = (3 3 i + 1,5 j)
2. Posisi dari suatu partikel memenuhi persamaan r = 2t + t2 dengan r dalam meter dan t
dalam sekon. Kecepatan partikel saat t = 5 sekon adalah ....
a. 3 m/s d. 12 m/s
b. 5 m/s e. 15 m/s
c. 8 m/s
3. Sebuah sepeda bergerak dengan kecepatan 20 m/s dalam arah 210° berlawanan dengan
arah jarum jam terhadap sumbu x positif. Komponen vektor kecepatan terhadap sumbu
x dan sumbu y adalah ....
a. vx = -10 m/s vy = - 5 m/s d. vx = -10 3 m/s vy = - 8 m/s
b. vx = -10 3 m/s vy = - 5 m/s e. vx = -10 3 m/s vy = - 10 m/s
c. vx = -12 3 m/s vy = - 6 m/s
4. Sebuah sepeda motor bergerak dalam sebuah kecepatan yang dilukiskan dengan grafik
kecepatan terhadap waktu berikut ini:
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 32
Besar perpindahan sepeda motor selama 15 sekon adalah ....
a. 40 m d. 400 m
b. 100 m e. 500 m
c. 150 m
5. Posisi ketinggian sebuah balon udara dinyatakan dalam persamaan : y = 20 t – 5t2,
dengan y dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan awal balon adalah ....
a. 2 m/s d. 20 m/s
b. 5 m/s e. 50 m/s
c. 10 m/s
6. Sebuah mobil mainan bergerak dengan persamaan kecepatan v = 3t2 – 6t – 9, dimana v
dalam m/s dan t dalam sekon. Jarak yang ditempuh mobil mainan antara t = 1 s hingga
t = 4 sekon adalah ....
a. 10 m d. 45 m
b. 20 m e. 47,5 m
c. 23 m
7. Sebuah sepeda motor bergerak dengan
kecepatan yang digambarkan seperti
grafik di samping.
Besar percepatan saat t = 12 sekon
adalah ....
a. - 2 m/s2
b. - 5 m/s2
c. - 8 m/s2
d. -10 m/s2
e. -12 m/s2
8. Seekor burung terbang dengan persamaan lintasan y = 27 t – t3, di mana y dalam meter
dan t dalam sekon. Tinggi maksimum burung adalah ....
a. 108 m d. 27 m
b. 81 m e. 3 m
c. 54 m
9. Sebuah peluru ditembakkan sehingga mempunyai persamaan perpindahan sebagai
berikut : r = 30 t i + (30 3 t – 5 t2) j, dengan r dalam meter, t dalam sekon, tinggi
maksimum yang dicapai peluru adalah ....
a. 135 m d. 180 3 m
b. 135 3 m e. 270 m
c. 180 m
10. Sebuah benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = 2t + 5 , di mana v dalam m/s
dan t dalam sekon. Bila saat t = 0 benda berada pada x = 4 m, maka posisi benda saat
t = 4 s adalah ....
a. 20 m d. 35 m
b. 25 m e. 40 m
c. 30 m
11. Roda sepeda berputar pada porosnya dengan persamaan posisi sudut θ = 3 t + 2 t2, di
mana θ dalam radian, dan t dalam sekon. Posisi sudut saat t = 2 sekon adalah ....
a. 3 rad d. 14 rad
b. 5 rad e. 18 rad
c. 12 rad
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 33
12. Jika roda mobil berputar dengan persamaan posisi sudut θ = 2 t + 2 t2, di mana θ dalam
radian, dan t dalam sekon, maka kecepatan sudut roda mobil saat t = 2 sekon adalah ...
a. 4 rad/s d. 12 rad/s
b. 7 rad/s e. 15 rad/s
c. 10 rad/s
13. Jika persamaan kecepatan sudut suatu gerak melingkar dinyatakan dalam ω = 3 t2 +
2 t + 2, di mana ω dalam rad/s dan t dalam sekon, jika posisi sudut awal gerak
melingkar 2 rad, maka posisi sudut gerak melingkar saat t = 1 s adalah ....
a. 6 rad d. 3 rad
b. 5 rad e. 2 rad
c. 4 rad
14. Sebuah peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo dan sudut elevasi α pada
saat mencapai tinggi maksimum ...
a. tenaga kinetiknya maksimum
b. tenaga potensialnya maksimum
c. tenaga potensialnya minimum
d. tenaga totalnya maksimum
e. kecepatannya maksimum
15. Terhadap koordinat x horisontal dan y vertikal, sebuah benda yang bergerak mengikuti
gerak peluru mempunyai komponen-komponen kecepatan yang ....
a. besarnya tetap pada arah x dan berubah-ubah pada sumbu y
b. besarnya tetap pada arah y dan berubah-ubah pada arah x
c. besarnya tetap, baik pada arah x maupun pada arah y
d. besarnya berubah-ubah, baik pada arah x maupun pada arah y
e. besar dan arah terus-menerus berubah terhadap waktu
16. Sebuah kapal laut sejauh 10 km dengan arah 53° timur laut. Jika arah timur dijadikan
sumbu x positif, maka vektor perpindahannya adalah....
a. Δ r = (0,6 i + 0,8 j) d. Δ r = (60 i + 80 j)
b. Δ r = (0,8 i + 0,6 j) e. Δ r = (80 i + 60 j)
c. Δ r = (6 i + 8 j )
17. Posisi suatu partikel memenuhi persamaan r = 3t + 2t2 dengan r dalam meter dan t
dalam sekon.Kecepatan partikel saat t = 5 sekon adalah ....
a. 28 m/s d. 15 m/s
b. 25 m/s e. 12 m/s
c. 23 m/s
18. Posisi ketinggian sebuah balon udara dinyatakan dalam persamaan : y = 50 t – 5t2,
dengan y dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan awal balon adalah ....
a. 2 m/s d. 20 m/s
b. 5 m/s e. 50 m/s
c. 10 m/s
19. Sebuah anak panah meluncur dengan persamaan kecepatan v = 3t2 – 6t – 9, dimana v
dalam m/s dan t dalam s. Jarak yang ditempuh mobil mainan antara t = 1 s hingga t = 4
sekon adalah ....
a. 10 m d. 45 m
b. 20 m e. 47,5 m
c. 23 m
20. Seekor burung terbang dengan persamaan lintasan y = 20 t – t2, dimana y dalam meter
dan t dalam sekon. Tinggi maksimum burung adalah ....
a. 100 m d. 16 m
b. 20 m e. 3 m
c. 19 m
21. Sebuah peluru ditembakkan sehingga mempunyai persamaan perpindahan sebagai
berikut : r = 30 t i + (20 t – 5 t2) j, dengan r dalam meter, t dalam sekon, tinggi
maksimum yang dicapai peluru adalah ....
a. 13 m d. 80 m
b. 20 m e. 200 m
c. 60 m
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 34
22. Sebuah benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = 2t + 10 , dimana v dalam m/s
dan t dalam sekon. Bila saat t = 0 benda berada pada x = 6 m, maka posisi benda saat
t = 2 s adalah ....
a. 20 m d. 35 m
b. 25 m e. 40 m
c. 30 m
23. Roda sepeda berputar pada porosnya dengan persamaan posisi sudut θ = 4 t + 2 t2,
dimana θ dalam radian, dan t dalam sekon. Posisi sudut ketika kecepatan sudut
mencapai maksimum adalah adalah ....
a. 3 rad d. 14 rad
b. 6 rad e. 18 rad
c. 12 rad
24 . Jika persamaan kecepatan sudut suatu gerak melingkar dinyatakan dalam ω = 3 t2 + 2,
dimana ω dalam rad/s dan t dalam sekon, jika posisi sudut awal gerak melingkar 3 rad,
maka posisi sudut gerak melingkar saat t = 1 s adalah ....
a. 6 rad d. 3 rad
b. 5 rad e. 2 rad
c. 4 rad
25. Gerak sebuah benda memiliki persamaan posisi r = (8t – 4 ) i + (-3t2 + 6 t ). Semua
besaranmenggunakan satuan dasar SI. Dari pernyataan berikut :
1. benda bergerak lurus berubah beraturan
2. memiliki koordinat awal ( -4, 0)m
3. setelah 1 s perpindahannya 5 m
4. setelah 1 s kecepatannya menjadi 8 m/s.
Pernyataan yang benar adalah :
a. 1, 2 dan 3 c. 1 dan 4
b. 1 dan 3 d. 2 ,3 dan 4
e. 2 dan 4
26. Posisi sudut sebuah partikel pada tepi sebuah roda yang sedang berputar dinyatakan
oleh θ = 4 t – 3 t2 + t3 , dengan θ dalam radian dan t dalam sekon. Kecepatan sudut
ratarata antara t = 0 sampai t = 2 sekon adalah ...rad/s
a. 1 b. 2 c.3 d. 4 e. 5
27. Sebuah peluru ditembakan dengan sudut elevasi 370 dan kecepatan awal 50 m/s. Maka
perbandingan tinggi peluru ketika t= 1s dan t = 2s adalah .....
a. 1/5 b. ¼ c. 3/4 d. 3/5 e. 5/8
28. Sebuah 2 bola kasti menggelinding masing-masing kecepatan v1 dan v2 dengan arah
mendatar jatuh dari lantai satu h1 = 2h dan lantai dua h2 =3h. Membentuk lintasan
parabola. Maka perbandingan v1/v2 adalah ......
a. 3 / 2 . b. 2 / 3 . c. 3 /2 d.2 3 /3 e. 1
29. Suatu benda dikatakan bergerak melingkar beraturan bila ....
1. perpindahannya konstan
2. kecepatan sudutnya konstan
3. momentum liniernya konstan
4.percepatan sudutnya konsta
Pernyataan yang benar adalah ...
a. 1, 2 dan 3 b. 1 dan3 c. 2 dan 4 d. 4 e. 1, 2 , 3 dan 4
30. Sebuah peluru ditembakkan dengan arah horisontal dan dengan kecepatan awal v dari
ketinggian awal h dari permukaan tanah. Jarak horisontal yang ditempuh peluru
tergantung pada ....
1. kecepatan awal v
2. ketinggian h
3. percepatan gravitasi
4. massa peluru
Pernyataan yang benar adalah :
a. 1, 2 dan 3 b. 1 dan3 c. 2 dan 4 d. 4 e. 1, 2 , 3 dan 4
http://fisikavisiku.wordpress.com/ 35

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

0 komentar:

Poskan Komentar